محاسبه ب.م.م و ک.م.م

محاسبه ب.م.م و ک.م.م با روش حل قدم‌به‌قدم

ساده کردن کسرها، پیدا کردن مخرج مشترک و حل مسائل زمان‌بندی و تقسیم‌بندی، همه به دو مفهوم پایه‌ای ریاضی نیاز دارند: ب.م.م و ک.م.م. با ابزار محاسبه ب.م.م و ک.م.م تولتولیا کافی است دو یا چند عدد را وارد کنید تا نه‌فقط جواب، بلکه روش حل را هم با تجزیه به عوامل اول و روش تقسیم‌های متوالی ببینید؛ درست همان روش‌هایی که در کتاب‌های درسی آموزش داده می‌شود.

ب.م.م و ک.م.م چیست؟

• ب.م.م (بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک): بزرگ‌ترین عددی که همه‌ی اعداد موردنظر بر آن بخش‌پذیرند. برای مثال، ب.م.م ۱۲ و ۱۸ برابر ۶ است.
• ک.م.م (کوچک‌ترین مضرب مشترک): کوچک‌ترین عددی که بر همه‌ی اعداد موردنظر بخش‌پذیر است. برای مثال، ک.م.م ۱۲ و ۱۸ برابر ۳۶ است.

در منابع انگلیسی به ب.م.م، GCD یا GCF و به ک.م.م، LCM گفته می‌شود.

ویژگی‌های ابزار

• محاسبه برای دو یا چند عدد به‌صورت هم‌زمان.
• تجزیه‌ی هر عدد به عوامل اول.
• روش حل با تجزیه: نمایش عوامل مشترک و غیرمشترک.
• روش تقسیم‌های متوالی (اقلیدس): نمایش مراحل تقسیم.
• پشتیبانی از ارقام فارسی و انگلیسی.
• کپی نتیجه با یک کلیک.
• رایگان و بدون ثبت‌نام.

آموزش استفاده

1. دو یا چند عدد صحیح مثبت را وارد کنید و آن‌ها را با ویرگول، فاصله یا خط جدید از هم جدا کنید.
2. روی «محاسبه» بزنید.
3. ب.م.م و ک.م.م را ببینید و برای یادگیری روش، بخش‌های «تجزیه به عوامل اول»، «روش حل با تجزیه» و «روش تقسیم‌های متوالی» را بررسی کنید.

روش اول: محاسبه ب.م.م و ک.م.م با تجزیه

ابتدا هر عدد را به عوامل اول تجزیه کنید:

• ب.م.م: حاصل‌ضرب عوامل مشترک با کمترین توان.
• ک.م.م: حاصل‌ضرب همه‌ی عوامل با بیشترین توان.

مثال: ب.م.م و ک.م.م اعداد ۱۲، ۱۸ و ۳۰:

• ۱۲ = ۲² × ۳
• ۱۸ = ۲ × ۳²
• ۳۰ = ۲ × ۳ × ۵

عوامل مشترک هر سه عدد، ۲ و ۳ هستند؛ پس ب.م.م = ۲ × ۳ = ۶. برای ک.م.م، همه‌ی عوامل را با بیشترین توان در نظر می‌گیریم: ک.م.م = ۲² × ۳² × ۵ = ۱۸۰.

روش دوم: تقسیم‌های متوالی (الگوریتم اقلیدس)

عدد بزرگ‌تر را بر عدد کوچک‌تر تقسیم کنید، سپس عدد کوچک‌تر را بر باقی‌مانده تقسیم کنید و این کار را ادامه دهید تا باقی‌مانده صفر شود. آخرین باقی‌مانده‌ی غیرصفر، ب.م.م است.

مثال: ب.م.م ۸۴ و ۳۶:

• ۸۴ = ۲ × ۳۶ + ۱۲
• ۳۶ = ۳ × ۱۲ + ۰

آخرین باقی‌مانده‌ی غیرصفر ۱۲ است؛ پس ب.م.م = ۱۲. این روش برای اعداد بزرگ بسیار سریع‌تر از تجزیه است.

رابطه‌ی ب.م.م و ک.م.م

برای هر دو عدد a و b:

a × b = ب.م.م × ک.م.م

برای مثال، ک.م.م ۸۴ و ۳۶ برابر است با (۸۴ × ۳۶) ÷ ۱۲ = ۲۵۲. توجه کنید که این رابطه فقط برای دو عدد برقرار است.

کاربردهای ب.م.م و ک.م.م

• ساده کردن کسر: صورت و مخرج را بر ب.م.م تقسیم کنید؛ مثلاً ۱۲/۱۸ با تقسیم بر ۶ می‌شود ۲/۳.
• جمع و تفریق کسرها: ک.م.م مخرج‌ها، کوچک‌ترین مخرج مشترک است؛ مثلاً ۱/۴ + ۱/۶ = ۳/۱۲ + ۲/۱۲ = ۵/۱۲.
• مسائل زمان‌بندی: اگر یک اتوبوس هر ۴ روز و دیگری هر ۶ روز یک بار حرکت کند، هر ۱۲ روز (ک.م.م) هم‌زمان حرکت می‌کنند.
• مسائل تقسیم‌بندی: بزرگ‌ترین کاشی مربعی که یک کف ۸۴ در ۳۶ سانتی‌متری را بدون برش بپوشاند، ضلعی برابر ۱۲ سانتی‌متر (ب.م.م) دارد.

برای بررسی اعداد اول و تجزیه‌ی آن‌ها از تشخیص عدد اول و تجزیه به عوامل اول و برای سایر محاسبات از ماشین‌حساب علمی تولتولیا استفاده کنید.

سؤالات متداول

تفاوت ب.م.م و ک.م.م چیست؟

ب.م.م بزرگ‌ترین عددی است که اعداد بر آن بخش‌پذیرند و همیشه کوچک‌تر یا مساوی کوچک‌ترین عدد است. ک.م.م کوچک‌ترین عددی است که بر همه‌ی اعداد بخش‌پذیر است و همیشه بزرگ‌تر یا مساوی بزرگ‌ترین عدد است.

ب.م.م دو عدد اول چند است؟

ب.م.م دو عدد اول متفاوت همیشه ۱ است و ک.م.م آن‌ها برابر حاصل‌ضربشان است. به دو عددی که ب.م.م آن‌ها ۱ باشد، «نسبت به هم اول» می‌گویند.

آیا می‌توانم بیشتر از دو عدد وارد کنم؟

بله. هر تعداد عدد صحیح مثبت را وارد کنید تا ب.م.م و ک.م.م همه‌ی آن‌ها یک‌جا محاسبه شود.

کدام روش بهتر است، تجزیه یا تقسیم‌های متوالی؟

روش تجزیه برای اعداد کوچک و برای درک مفهوم ب.م.م و ک.م.م مناسب‌تر است. روش تقسیم‌های متوالی برای اعداد بزرگ، که تجزیه‌ی آن‌ها سخت است، سریع‌تر است. ابزار هر دو روش را نشان می‌دهد.

GCD و LCM همان ب.م.م و ک.م.م هستند؟

بله. GCD یا GCF نام انگلیسی ب.م.م و LCM نام انگلیسی ک.م.م است.