حل معادله درجه دوم با دلتا و رسم نمودار

حل معادله درجه دوم با فرمول دلتا، مرحله‌به‌مرحله

معادله‌ی درجه دوم به شکل ax² + bx + c = 0 یکی از پرکاربردترین مباحث ریاضی دبیرستان است. با ابزار حل معادله درجه دوم تولتولیا کافی است ضرایب a، b و c را وارد کنید یا خود معادله را جای‌گذاری کنید تا دلتا، ریشه‌ها، رأس سهمی و نمودار آن را ببینید. مهم‌تر از جواب نهایی، ابزار جای‌گذاری اعداد در فرمول را مرحله‌به‌مرحله نشان می‌دهد تا بتوانید راه‌حل خودتان را خط‌به‌خط با آن مقایسه کنید و اشتباه را پیدا کنید.

ویژگی‌های ابزار

• محاسبه‌ی دلتا و ریشه‌ها با فرمول کلی حل معادله‌ی درجه دوم.
• حل مرحله‌به‌مرحله با جای‌گذاری واقعی اعداد.
• رأس سهمی و محور تقارن.
• رسم نمودار سهمی با نمایش رأس و ریشه‌ها.
• جای‌گذاری مستقیم معادله: قالب‌هایی مثل 2x²−5x+3=0 یا «x²−۴».
• پشتیبانی از ارقام فارسی و ضرایب کسری مثل ۱/۲.
• رایگان و بدون ثبت‌نام.

آموزش استفاده

1. معادله را در کادر بالا جای‌گذاری کنید تا ضرایب خودکار پر شوند، یا a، b و c را مستقیماً وارد کنید.
2. اگر معادله برابر صفر نیست، ابتدا همه‌ی جملات را به یک طرف ببرید تا به شکل ax² + bx + c = 0 درآید.
3. روی «حل کن» بزنید.
4. ریشه‌ها، دلتا، رأس و نمودار را ببینید و بخش «حل مرحله‌به‌مرحله» را برای یادگیری روش بررسی کنید.

فرمول دلتا و حل معادله درجه دوم

Δ = b² − 4ac

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a

علامت دلتاتعداد ریشهوضعیت نمودارΔ > ۰دو ریشه‌ی حقیقی متمایزسهمی محور x را در دو نقطه قطع می‌کندΔ = ۰یک ریشه‌ی مضاعفسهمی در رأس خود بر محور x مماس استΔ < ۰ریشه‌ی حقیقی ندارد (دو ریشه‌ی مختلط)سهمی محور x را قطع نمی‌کند

مثال حل‌شده

معادله‌ی 2x² − 5x + 3 = 0 را حل کنید:

1. ضرایب: a = ۲، b = −۵، c = ۳
2. دلتا: Δ = (−5)² − 4 × 2 × 3 = 25 − 24 = 1
3. چون Δ مثبت است، معادله دو ریشه دارد.
4. ریشه‌ها: x = (5 ± 1) ÷ 4، یعنی x = ۱٫۵ و x = ۱
5. رأس سهمی: x = −b ÷ 2a = 5/4 و با جای‌گذاری، y = −1/8. چون a مثبت است، این نقطه کمینه‌ی سهمی است.

دلتای پریم (Δ')؛ روش سریع‌تر برای b زوج

اگر ضریب b عددی زوج باشد، می‌توانید با دلتای پریم محاسبه را ساده‌تر کنید. با فرض b' = b ÷ 2:

Δ' = b'² − ac و x = (−b' ± √Δ') ÷ a

مثال: در معادله‌ی x² − 6x + 5 = 0، b' = −۳ است؛ پس Δ' = 9 − 5 = 4 و x = (3 ± 2) ÷ 1، یعنی ریشه‌ها ۵ و ۱ هستند. علامت Δ' همیشه با علامت Δ یکسان است.

مجموع و حاصل‌ضرب ریشه‌ها

بدون حل معادله هم می‌توان مجموع (S) و حاصل‌ضرب (P) ریشه‌ها را به دست آورد:

• مجموع ریشه‌ها: S = −b ÷ a
• حاصل‌ضرب ریشه‌ها: P = c ÷ a

در مثال 2x² − 5x + 3 = 0، مجموع ریشه‌ها ۵/۲ و حاصل‌ضرب آن‌ها ۳/۲ است؛ که با ریشه‌های ۱٫۵ و ۱ مطابقت دارد. از این روابط برای بررسی درستی جواب هم می‌توان استفاده کرد.

کاربردهای ابزار

• دانش‌آموزان: بررسی تمرین‌ها و پیدا کردن مرحله‌ای که در آن اشتباه کرده‌اند.
• آمادگی امتحان و کنکور: تمرین سریع با معادله‌های متنوع.
• معلمان: نمایش اثر تغییر ضرایب بر شکل و جای سهمی.
• فیزیک و مهندسی: حل معادلات حرکت پرتابه و مسائل بهینه‌سازی.

ماشین‌حساب‌های ریاضی دیگر تولتولیا مثل ماشین‌حساب علمی، محاسبه ب.م.م و ک.م.م و تشخیص عدد اول را هم امتحان کنید.

سؤالات متداول

دلتا منفی شود یعنی چه؟

یعنی معادله ریشه‌ی حقیقی ندارد و نمودار سهمی محور x را قطع نمی‌کند. در ریاضیات پیشرفته‌تر، این معادله دو ریشه‌ی مختلط به شکل p ± qi دارد که ابزار آن‌ها را هم نمایش می‌دهد.

اگر a برابر صفر باشد چه می‌شود؟

در این صورت معادله دیگر درجه دوم نیست و به معادله‌ی درجه اول bx + c = 0 تبدیل می‌شود. ابزار این حالت را به شما اعلام می‌کند.

رأس سهمی چطور محاسبه می‌شود؟

طول رأس از رابطه‌ی x = −b ÷ 2a به دست می‌آید که همان محور تقارن سهمی است. با جای‌گذاری آن در معادله، عرض رأس محاسبه می‌شود. اگر a مثبت باشد رأس کمینه و اگر منفی باشد بیشینه است.

کی از دلتای پریم استفاده کنم؟

وقتی ضریب b زوج است. دلتای پریم اعداد کوچک‌تری دارد و محاسبه‌ی دستی را ساده‌تر می‌کند، اما جواب نهایی با فرمول دلتای معمولی یکسان است.

معادله‌ای که برابر صفر نیست را چطور حل کنم؟

ابتدا همه‌ی جملات را به یک طرف ببرید تا طرف دیگر صفر شود. برای مثال، x² = 3x − 2 را به شکل x² − 3x + 2 = 0 بنویسید و سپس ضرایب را وارد کنید.