حل‌کنندهٔ معادلهٔ درجهٔ دوم

این ابزار چه کاری انجام می‌دهد

سه ضریب یک معادلهٔ درجهٔ دوم — ax² + bx + c = 0 — را وارد کنید تا با استفاده از فرمول درجهٔ دوم، x را به‌دست آورد و ممیّز، هر دو ریشهٔ حقیقی یا مختلط، رأس، محور تقارن و نمودار سهمی را نمایش دهد. می‌توانید ضرایب را مستقیماً تایپ کنید یا عبارتی مانند "2x^2 - 5x + 3 = 0" را جای‌گذاری کنید تا اعداد آن را برایتان استخراج کند.

نحوه استفاده

مقادیر a، b و c را وارد کنید تا جواب فوراً به‌روز شود — نیازی به دکمهٔ ارسال نیست، هرچند اگر ترجیح دهید چنین دکمه‌ای هم وجود دارد. پنل حل مرحله‌به‌مرحله، جای‌گذاری واقعی اعداد در فرمول درجهٔ دوم را نشان می‌دهد، نه فقط جواب نهایی را؛ بنابراین می‌توانید محاسبات خود را خط‌به‌خط بررسی کنید. نمودار، سهمی را با مشخص‌کردن رأس و هر ریشهٔ حقیقی رسم می‌کند و در یک نگاه نشان می‌دهد که آیا علامت ممیّز با چیزی که از شکل منحنی انتظار دارید مطابقت دارد یا نه.

موارد استفاده رایج

• بررسی تکالیف جبر یا آمادگی آزمون، برای یافتن مرحله‌ای که نمی‌توانید به نتیجهٔ درست برسانید
• پیدا کردن سریع نقطه‌ای که معادلهٔ حرکت پرتابه یا بهینه‌سازی در آن صفر می‌شود
• راستی‌آزمایی تجزیهٔ دستی با مقایسهٔ آن با ریشه‌های به‌دست‌آمده از فرمول
• مشاهدهٔ تأثیر تغییر a، b یا c بر جابه‌جایی و شکل سهمی

سؤالات متداول

ممیّز چه چیزی را نشان می‌دهد؟

علامت آن، حتی پیش از اینکه حل معادله را کامل کنید، ماهیت ریشه‌ها را مشخص می‌کند. مقدار مثبت یعنی دو ریشهٔ حقیقیِ متمایز، مقدار صفر یعنی یک ریشهٔ حقیقیِ تکراری (سهمی در رأس خود فقط محور x را لمس می‌کند) و مقدار منفی یعنی هیچ ریشهٔ حقیقی‌ای وجود ندارد — سهمی هرگز محور x را قطع نمی‌کند و ریشه‌ها مختلط هستند.

اگر a برابر با 0 باشد چه؟

در این حالت دیگر معادلهٔ درجه‌دوم نیست — معادله خطی است (bx + c = 0) و فرمول درجه‌دوم بر صفر تقسیم می‌کند. ابزار به‌جای ارائهٔ پاسخی بی‌معنا، این مورد را اعلام می‌کند.

ریشه‌های مختلط به زبان ساده چیستند؟

این‌ها جواب‌هایی هستند که وقتی ممیّز منفی است به‌دست می‌آیند — جذر یک عدد منفی، عددی حقیقی نیست؛ بنابراین دو ریشه به‌صورت بخش حقیقی به‌علاوه یا منهای بخش موهومی نوشته می‌شوند (با استفاده از i، که در آن i² = -1 است). از نظر نموداری، این دقیقاً حالتی است که سهمی کاملاً بالای محور x یا کاملاً پایین آن باقی می‌ماند.

رأس چگونه محاسبه می‌شود؟

مختصات x برابر با -b/2a است (که همان محور تقارن نیز هست) و با جای‌گذاری آن در معادلهٔ اصلی، مختصات y به دست می‌آید. اگر a مثبت باشد، این نقطه کمینه و اگر a منفی باشد، بیشینه است.

آیا می‌توانم معادله‌ای را حل کنم که از قبل برابر با صفر نیست؟

ابتدا آن را مرتب کنید — همه‌چیز را به یک طرف ببرید تا برابر صفر شود و به شکل ax² + bx + c = 0 درآید. تجزیه‌گر معادله هنگام چسباندن متن، انتظار همین فرم استاندارد را دارد.