تشخیص عدد اول و تجزیه به عوامل اول

تشخیص عدد اول، تجزیه به عوامل اول و لیست اعداد اول

آیا ۹۱ عدد اول است؟ عدد ۳۶۰ از ضرب چه اعداد اولی ساخته شده؟ بین ۱ تا ۱۰۰۰ چند عدد اول وجود دارد؟ با ابزار تشخیص عدد اول تولتولیا می‌توانید هر عددی را بررسی کنید، اگر مرکب بود تجزیه‌ی آن به عوامل اول را ببینید و همه‌ی اعداد اول یک بازه‌ی دلخواه را همراه با تعداد و مجموع آن‌ها فهرست کنید.

عدد اول چیست؟

عدد اول، عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که فقط دو مقسوم‌علیه دارد: ۱ و خودش. برای مثال، ۷ عدد اول است، چون فقط بر ۱ و ۷ بخش‌پذیر است؛ اما ۹ عدد اول نیست، چون بر ۳ هم بخش‌پذیر است. به اعداد بزرگ‌تر از ۱ که اول نیستند، عدد مرکب می‌گویند.

ویژگی‌های ابزار

• بررسی یک عدد: اول یا مرکب بودن عدد را فوراً ببینید.
• تجزیه به عوامل اول برای اعداد مرکب.
• نمایش نزدیک‌ترین عدد اول کوچک‌تر و بزرگ‌تر.
• تولید لیست اعداد اول در هر بازه، تا ۲۰۰٬۰۰۰ عدد در هر نوبت.
• تعداد و مجموع اعداد اول بازه.
• کپی فهرست با یک کلیک.
• رایگان و بدون ثبت‌نام.

آموزش استفاده

1. برای بررسی یک عدد، حالت «بررسی یک عدد» را انتخاب کنید و عدد را وارد کنید.
2. برای ساخت لیست، حالت «تولید یک بازه» را انتخاب کنید و ابتدا و انتهای بازه را در «از» و «تا» وارد کنید.
3. نتیجه، تجزیه یا فهرست اعداد اول را ببینید و در صورت نیاز با «کپی فهرست» کپی کنید.

اعداد اول ۱ تا ۱۰۰

بین ۱ تا ۱۰۰، دقیقاً ۲۵ عدد اول وجود دارد:

۲۳۵۷۱۱۱۳۱۷۱۹۲۳۲۹۳۱۳۷۴۱۴۳۴۷۵۳۵۹۶۱۶۷۷۱۷۳۷۹۸۳۸۹۹۷

برای لیست اعداد اول بازه‌های بزرگ‌تر، مثلاً ۱ تا ۱۰۰۰ (که شامل ۱۶۸ عدد اول است)، از حالت «تولید یک بازه» استفاده کنید.

روش غربال برای پیدا کردن اعداد اول

غربال اراتستن روشی ساده و قدیمی برای پیدا کردن همه‌ی اعداد اول تا یک عدد مشخص است:

1. اعداد ۲ تا ۱۰۰ را بنویسید.
2. عدد ۲ را نگه دارید و همه‌ی مضرب‌های آن (۴، ۶، ۸، ...) را خط بزنید.
3. اولین عدد خط‌نخورده بعدی، یعنی ۳، را نگه دارید و مضرب‌های آن را خط بزنید.
4. همین کار را برای ۵ و ۷ تکرار کنید.
5. اعدادی که خط نخورده‌اند، اعداد اول هستند.

برای اعداد تا ۱۰۰، کافی است مضرب‌های ۲، ۳، ۵ و ۷ را خط بزنید؛ چون جذر ۱۰۰ برابر ۱۰ است و هر عدد مرکب کمتر از ۱۰۰، حتماً یک مقسوم‌علیه اول کوچک‌تر از ۱۰ دارد.

تجزیه به عوامل اول

هر عدد مرکب را می‌توان به‌صورت حاصل‌ضرب اعداد اول نوشت و این تجزیه یکتاست. برای تجزیه، عدد را پشت‌سرهم بر کوچک‌ترین عدد اولی که بر آن بخش‌پذیر است تقسیم کنید:

مثال: ۳۶۰ ÷ ۲ = ۱۸۰ ← ÷ ۲ = ۹۰ ← ÷ ۲ = ۴۵ ← ÷ ۳ = ۱۵ ← ÷ ۳ = ۵ ← ÷ ۵ = ۱

پس: ۳۶۰ = ۲³ × ۳² × ۵

تجزیه به عوامل اول برای ساده کردن کسرها، پیدا کردن ب.م.م و ک.م.م و بسیاری از مسائل نظریه‌ی اعداد کاربرد دارد.

قواعد ساده‌ی بخش‌پذیری

• بر ۲: رقم یکان زوج باشد.
• بر ۳: مجموع ارقام بر ۳ بخش‌پذیر باشد.
• بر ۵: رقم یکان ۰ یا ۵ باشد.
• بر ۹: مجموع ارقام بر ۹ بخش‌پذیر باشد.

با این قواعد، خیلی از اعداد مرکب را می‌توان بدون ماشین‌حساب تشخیص داد؛ مثلاً ۸۷ اول نیست، چون مجموع ارقامش ۱۵ است و بر ۳ بخش‌پذیر است.

کاربردهای ابزار

• دانش‌آموزان: بررسی تمرین‌های عدد اول، تجزیه و ب.م.م و ک.م.م.
• معلمان: ساخت فهرست اعداد اول برای تمرین و آزمون.
• برنامه‌نویسان: مقایسه‌ی خروجی تابع تشخیص عدد اول با یک مرجع درست.
• علاقه‌مندان به ریاضی و رمزنگاری: بررسی توزیع اعداد اول در بازه‌های مختلف.

ماشین‌حساب‌های ریاضی دیگر تولتولیا مثل جدول ضرب آنلاین، ماشین‌حساب جایگشت و ترکیب و ماشین‌حساب علمی را هم امتحان کنید.

سؤالات متداول

آیا ۱ عدد اول است؟

خیر. عدد اول باید دقیقاً دو مقسوم‌علیه متفاوت داشته باشد، اما ۱ فقط یک مقسوم‌علیه دارد. به همین دلیل ۱ نه اول است و نه مرکب.

آیا ۲ تنها عدد اول زوج است؟

بله. همه‌ی اعداد زوج دیگر بر ۲ بخش‌پذیرند و بنابراین مرکب هستند.

بین ۱ تا ۱۰۰ چند عدد اول وجود دارد؟

۲۵ عدد اول. این تعداد بین ۱ تا ۱۰۰۰ برابر ۱۶۸ است.

ابزار چطور تشخیص می‌دهد عددی اول است؟

ابزار بخش‌پذیری عدد را فقط تا جذر آن بررسی می‌کند؛ چون اگر عددی مقسوم‌علیهی بزرگ‌تر از جذرش داشته باشد، حتماً یک مقسوم‌علیه کوچک‌تر از جذر هم دارد. به همین دلیل بررسی حتی اعداد بزرگ هم سریع انجام می‌شود.

چرا بازه‌ی تولید اعداد اول محدود است؟

برای اینکه مرورگر کند یا قفل نشود، هر بازه حداکثر ۲۰۰٬۰۰۰ عدد را شامل می‌شود. برای بازه‌های بزرگ‌تر، آن را به چند بخش تقسیم کنید.