محاسبه جایگشت و ترکیب
محاسبه‌ی جایگشت و ترکیب با و بدون تکرار، همراه با حل مرحله‌به‌مرحله و جواب دقیق برای اعداد بزرگ؛ رایگان و آنلاین.
مرحله‌به‌مرحله
دربارهٔ این ابزار
محاسبه جایگشت و ترکیب با حل مرحله‌به‌مرحله
جایگشت و ترکیب از مباحث پایه‌ای شمارش و احتمال هستند و بیشترین سردرگمی دانش‌آموزان این است که کدام را باید استفاده کنند. با ابزار محاسبه جایگشت و ترکیب تولتولیا کافی است تعداد کل اعضا (n) و تعداد اعضای انتخابی (r) را وارد کنید تا هر دو جواب، یعنی تعداد جایگشت‌ها و ترکیب‌ها، هم‌زمان و همراه با فرمول فاکتوریل و مراحل محاسبه نمایش داده شوند. ابزار با اعداد بزرگ هم جواب دقیق می‌دهد، نه تقریبی.
ویژگی‌های ابزار
- محاسبه‌ی هم‌زمان جایگشت و ترکیب.
- حالت با تکرار و بدون تکرار.
- حل مرحله‌به‌مرحله با فرمول فاکتوریل.
- جواب دقیق برای اعداد بزرگ، بدون گرد شدن.
- کپی نتایج با یک کلیک.
- رایگان و بدون ثبت‌نام.
آموزش استفاده
- در فیلد n، تعداد کل اعضا را وارد کنید؛ مثلاً تعداد دانش‌آموزان کلاس.
- در فیلد r، تعداد اعضایی را که انتخاب یا مرتب می‌کنید وارد کنید.
- اگر هر عضو می‌تواند بیش از یک بار انتخاب شود (مثل ارقام رمز)، گزینه‌ی «اجازه‌ی تکرار» را فعال کنید.
- تعداد جایگشت‌ها و ترکیب‌ها و مراحل محاسبه را ببینید.
تفاوت جایگشت و ترکیب
کافی است از خودتان بپرسید: «آیا ترتیب مهم است؟»
- جایگشت: ترتیب مهم است. انتخاب نفر اول، دوم و سوم یک مسابقه، یا ساختن رمز عبور؛ «علی، رضا، سارا» با «سارا، رضا، علی» متفاوت است.
- ترکیب: ترتیب مهم نیست. انتخاب سه نفر برای یک تیم؛ «علی، رضا، سارا» همان «سارا، رضا، علی» است.
فرمول‌های جایگشت و ترکیب
| حالت | فرمول |
|---|---|
| جایگشت بدون تکرار | P(n, r) = n! ÷ (n − r)! |
| ترکیب بدون تکرار | C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!) |
| جایگشت با تکرار | nʳ |
| ترکیب با تکرار | C(n + r − 1, r) |
در این فرمول‌ها، علامت ! یعنی فاکتوریل؛ مثلاً ۵! = ۵ × ۴ × ۳ × ۲ × ۱ = ۱۲۰. رابطه‌ی جایگشت و ترکیب هم این است: P(n, r) = C(n, r) × r!؛ چون هر انتخاب rتایی را می‌توان به r! ترتیب مختلف چید.
مثال‌های حل‌شده
| مسئله | نوع | جواب |
|---|---|---|
| نفرات اول تا سوم یک مسابقه با ۱۲ شرکت‌کننده | جایگشت بدون تکرار | 12 × 11 × 10 = 1320 |
| انتخاب ۳ نماینده از کلاس ۱۰ نفره | ترکیب بدون تکرار | C(10, 3) = 120 |
| تعداد رمزهای ۴ رقمی کارت بانکی | جایگشت با تکرار | 10⁴ = 10000 |
| انتخاب ۳ اسکوپ بستنی از ۵ طعم (تکرار طعم مجاز) | ترکیب با تکرار | C(7, 3) = 35 |
| تعداد دست‌های ۵ کارتی از یک دسته‌ی ۵۲ کارتی | ترکیب بدون تکرار | C(52, 5) = 2,598,960 |
کاربردهای ابزار
- دانش‌آموزان: بررسی تمرین‌های شمارش، جایگشت، ترکیب و احتمال.
- آمادگی کنکور: بررسی سریع جواب تست‌های ترکیبیات.
- امنیت: محاسبه‌ی تعداد رمزهای ممکن برای سنجش قدرت یک رمز.
- برنامه‌ریزی: شمارش حالت‌های ممکن برای چیدمان، گروه‌بندی و زمان‌بندی.
ماشین‌حساب‌های ریاضی دیگر تولتولیا مثل ماشین حساب مهندسی، محاسبه انحراف معیار و واریانس و تشخیص عدد اول را هم امتحان کنید.
سؤالات متداول
چطور بفهمم مسئله جایگشت است یا ترکیب؟
اگر جابه‌جا کردن اعضای انتخاب‌شده یک حالت جدید بسازد (مثل رتبه‌بندی یا رمز)، مسئله جایگشت است. اگر فقط مهم است چه اعضایی انتخاب شوند و ترتیبشان فرقی نمی‌کند (مثل تیم یا کمیته)، مسئله ترکیب است.
«با تکرار» یعنی چه؟
یعنی هر عضو می‌تواند بیش از یک بار انتخاب شود؛ مثل ارقام یک رمز که ممکن است تکراری باشند. در حالت بدون تکرار، هر عضو پس از انتخاب کنار گذاشته می‌شود؛ مثل کارت‌هایی که از دسته بیرون کشیده می‌شوند.
چرا تعداد ترکیب‌ها همیشه کمتر از جایگشت‌هاست؟
چون هر ترکیب rتایی را می‌توان به r! ترتیب مختلف چید و هر کدام یک جایگشت جداگانه است. فقط وقتی r برابر ۰ یا ۱ باشد، این دو عدد برابرند.
آیا r می‌تواند از n بزرگ‌تر باشد؟
فقط در حالت با تکرار. بدون تکرار، نمی‌توان بیشتر از تعداد اعضای موجود انتخاب کرد و ابزار این حالت را نامعتبر اعلام می‌کند.
آیا جواب برای اعداد بزرگ دقیق است؟
بله. ابزار به‌جای اعداد اعشاری معمولی که پس از حدود ۱۵ رقم دقت خود را از دست می‌دهند، از محاسبات دقیق اعداد صحیح استفاده می‌کند و همه‌ی رقم‌های جواب را نمایش می‌دهد.