محاسبه دترمینان، وارون و ضرب ماتریس

ماشین‌حساب ماتریس؛ دترمینان، وارون، ضرب و ترانهاده

محاسبه‌ی دستی دترمینان یک ماتریس ۳×۳ یا وارون یک ماتریس، پر از ضرب و تفریق‌هایی است که یک اشتباه کوچک در آن‌ها کل جواب را خراب می‌کند. با ماشین‌حساب ماتریس تولتولیا می‌توانید دو ماتریس A و B را تا ابعاد ۵×۵ وارد کنید و جمع، تفریق، ضرب، ترانهاده، ضرب در عدد، دترمینان و وارون آن‌ها را فوراً به دست آورید. اگر عملیاتی برای ابعاد واردشده تعریف نشده باشد، ابزار دلیل آن را به‌روشنی توضیح می‌دهد.

ویژگی‌های ابزار

• دو ماتریس مستقل با ابعاد دلخواه از ۱×۱ تا ۵×۵.
• جمع و تفریق ماتریس‌ها.
• ضرب ماتریس‌ها در هر دو ترتیب A × B و B × A.
• ترانهاده هر ماتریس.
• دترمینان و وارون (معکوس) ماتریس‌های مربعی.
• ضرب ماتریس در عدد.
• پر کردن تصادفی برای تمرین و آزمایش.
• رایگان و بدون ثبت‌نام.

آموزش استفاده

1. تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس A و B را انتخاب کنید.
2. درایه‌ها را وارد کنید، یا برای تمرین روی «تصادفی» بزنید.
3. روی عملیات موردنظر بزنید؛ مثلاً det(A) برای دترمینان یا A⁻¹ برای وارون.
4. نتیجه را ببینید و با «کپی نتیجه» آن را کپی کنید.

دترمینان و وارون ماتریس ۲×۲

برای ماتریس A = [a b ; c d]:

• دترمینان: det(A) = ad − bc
• وارون: A⁻¹ = (1 ÷ det(A)) × [d −b ; −c a]

مثال: برای ماتریس زیر:

A = | 4  7 |
    | 2  6 |

دترمینان برابر است با ۴ × ۶ − ۷ × ۲ = ۱۰ و وارون آن:

A⁻¹ = |  0.6  -0.7 |
      | -0.2   0.4 |

دترمینان ماتریس ۳×۳ با روش ساروس

در روش ساروس، دو ستون اول ماتریس را سمت راست آن تکرار کنید؛ سپس حاصل‌ضرب سه قطر اصلی را با هم جمع و حاصل‌ضرب سه قطر فرعی را از آن کم کنید.

A = | 1  2  3 |
    | 0  1  4 |
    | 5  6  0 |

• قطرهای اصلی: (1×1×0) + (2×4×5) + (3×0×6) = 0 + 40 + 0 = 40
• قطرهای فرعی: (3×1×5) + (1×4×6) + (2×0×0) = 15 + 24 + 0 = 39
• دترمینان: ۴۰ − ۳۹ = ۱

روش ساروس فقط برای ماتریس‌های ۳×۳ کار می‌کند. ابزار برای ماتریس‌های بزرگ‌تر از بسط و روش حذفی گاوس–ژوردان استفاده می‌کند.

ضرب ماتریس‌ها

برای ضرب A × B، تعداد ستون‌های A باید با تعداد سطرهای B برابر باشد. هر درایه‌ی حاصل‌ضرب، از ضرب یک سطر A در یک ستون B و جمع نتایج به دست می‌آید:

| 1  2 |   | 5  6 |   | 1×5+2×7  1×6+2×8 |   | 19  22 |
| 3  4 | × | 7  8 | = | 3×5+4×7  3×6+4×8 | = | 43  50 |

ضرب ماتریس‌ها جابه‌جایی‌پذیر نیست؛ یعنی A × B معمولاً با B × A برابر نیست.

کاربردهای ابزار

• دانش‌آموزان و دانشجویان: بررسی تمرین‌های ماتریس و جبر خطی.
• حل دستگاه معادلات: بررسی جواب دستگاه‌هایی که با وارون ماتریس حل شده‌اند.
• برنامه‌نویسان: کنترل محاسبات ماتریسی در گرافیک، تبدیل‌های هندسی و یادگیری ماشین.
• آموزش: نشان دادن رابطه‌ی دترمینان و وارون پذیری ماتریس.

ماشین‌حساب‌های ریاضی دیگر تولتولیا مثل حل معادله درجه دوم با دلتا، ماشین‌حساب علمی و محاسبه انحراف معیار و واریانس را هم امتحان کنید.

سؤالات متداول

چرا نمی‌توانم دو ماتریس را در هم ضرب کنم؟

برای ضرب A × B، تعداد ستون‌های A باید با تعداد سطرهای B برابر باشد. برای مثال، اگر A ماتریس ۲×۳ و B ماتریس ۳×۲ باشد، A × B تعریف شده و نتیجه یک ماتریس ۲×۲ است.

چرا ماتریس من وارون ندارد؟

یک ماتریس مربعی فقط زمانی وارون دارد که دترمینان آن صفر نباشد. به ماتریسی که دترمینانش صفر است، ماتریس منفرد (تکین) می‌گویند و وارون‌پذیر نیست.

دترمینان ماتریس غیرمربعی چقدر است؟

دترمینان فقط برای ماتریس‌های مربعی (تعداد سطر و ستون برابر) تعریف می‌شود. اگر برای ماتریس غیرمربعی دترمینان بخواهید، ابزار خطا را توضیح می‌دهد.

ترانهاده ماتریس چیست؟

ترانهاده‌ی ماتریس با جابه‌جا کردن سطرها و ستون‌ها به دست می‌آید؛ سطر اول به ستون اول تبدیل می‌شود، سطر دوم به ستون دوم و همین‌طور تا آخر. ترانهاده‌ی یک ماتریس ۲×۳، ماتریسی ۳×۲ است.

تفاوت A × B و B × A چیست؟

ضرب ماتریس‌ها، برخلاف ضرب اعداد، جابه‌جایی‌پذیر نیست. این دو حاصل‌ضرب معمولاً متفاوت‌اند و گاهی فقط یکی از آن‌ها تعریف شده است؛ به همین دلیل ابزار دو دکمه‌ی جداگانه دارد.

آیا می‌توانم ماتریس را در یک عدد ضرب کنم؟

بله. عدد را در فیلد k وارد کنید و روی «k × A» یا «k × B» بزنید تا همه‌ی درایه‌های ماتریس در آن عدد ضرب شوند.